Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Gerade Primzahlpotenz/Reduktion/Fakt/Beweis

Beweis

(1) ist trivial.

(2). In $\mathbb{Z}/(8)$ ist von den ungeraden Zahlen lediglich die $1$ ein Quadrat, sodass der Ringhomomorphismus

$\mathbb{Z}/(2^r)⟶\mathbb{Z}/(8)$

für  $r\ge 3$  zeigt, dass die numerische Bedingung notwendig ist. Es sei diese umgekehrt nun erfüllt, also  $a\in {(\mathbb{Z}/(2^r))}^{\times }$  mit  $a=1mod8$.  Dann kann man nach Bemerkung

$a=\pm 5^i.$

schreiben. Dies gilt aber auch modulo $8$, woraus sofort folgt, dass $i$ gerade und dass das Vorzeichen positiv ist. Dann ist $5^{i/2}$ eine Quadratwurzel von $a$ in $\mathbb{Z}/(2^r)$.

Zur bewiesenen Aussage