Restklassenringe von Z/Körper/Integer/Primzahl/Fakt/Beweis

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Beweis

. Da jede Einheit ein Nichtnullteiler ist, ist jeder Körper insbesondere ein Integritätsbereich.
. Es ist und dies ist im integren Fall eine Primzahl, wie in Fakt gezeigt wurde.
. Sei also eine Primzahl und eine von verschiedene Restklasse. Diese wird durch eine ganze Zahl zwischen und repräsentiert. Da prim ist, ist oder aber kein Teiler von . In jedem Fall sind und teilerfremd und nach Fakt gibt es eine Darstellung der . D.h. es gibt ganze Zahlen mit

Diese Gleichung gilt auch, wenn man die Restklassenbildung modulo darauf los lässt. Es gilt also

in . Dort ist aber , so dass man den zweiten Summanden ignorieren kann und lediglich

übrig bleibt. Diese Gleichung zeigt, dass eine Einheit ist (mit als Inversem).

Zur bewiesenen Aussage