Richtungsableitung/R/Wurzel x durch y/Verschiedene Punkte und Richtungen/Aufgabe/Lösung

1. Wir müssen untersuchen, ob und wohin der Differenzenquotient

   ${}{\begin{aligned}{\frac {f((1,2)+s(3,-1))-f(1,2)}{s}}&={\frac {f((1+3s,2-s))-f(1,2)}{s}}\\&={\frac {{\frac {\sqrt {1+3s}}{2-s}}-{\frac {1}{2}}}{s}}\\&={\frac {2{\sqrt {1+3s}}-(2-s)}{2(2-s)s}}\\&={\frac {2{\sqrt {1+3s}}+s-2}{-2s^{2}+4s}}\end{aligned}}$

   für ${}s\rightarrow 0$ konvergiert. Wir leiten Zähler und Nenner ab und erhalten den neuen Quotienten

   ${\frac {{\frac {3}{\sqrt {1+3s}}}+1}{-4s+4}}.$

   Hier konvergiert der Nenner für ${}s\rightarrow 0$ gegen ${}4$ und der Gesamtbruch gegen ${}1$. Nach Hospital konvergiert dann auch der Differenzenquotient gegen ${}1$.

2. Die partiellen Ableitungen sind

   ${}\left({\frac {\partial f}{\partial x}},\,{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)=\left({\frac {1}{2{\sqrt {x}}y}},\,-{\frac {\sqrt {x}}{y^{2}}}\right)\,.$

   Im Punkt ${}(1,2)$ ergibt dies das totale Differential

   $\left({\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}}\right)$

   und angewendet auf den Richtungsvektor ${}(3,-1)$ ergibt dies aufgrund von Fakt die Richtungsableitung

   ${}\left({\frac {1}{4}},\,-{\frac {1}{4}}\right){\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}}=1\,.$

Zur gelösten Aufgabe