Riemann-Integral/Hauptsatz/Newton-Leibniz/Fakt/Beweis

Beweis

Aufgrund von Fakt existiert das Integral. Mit der Integralfunktion

$G(x):={\int }_a^{x}f(t)dt$

gilt die Beziehung

${\int }_a^{b}f(t)dt=G(b)=G(b)-G(a).$

Aufgrund von Fakt ist $G$ differenzierbar mit

$G^{\prime }(x)=f(x),$

d.h. $G$ ist eine Stammfunktion von $f$. Wegen Fakt ist  $F(x)=G(x)+c$.  Daher ist

${\int }_a^{b}f(t)dt=G(b)-G(a)=F(b)-c-F(a)+c=F(b)-F(a).$

Zur bewiesenen Aussage