Riemann-integral/Stetige Funktion/Treppenfunktion zu Werten/Aufgabe/Lösung

Zu ${}n\in \mathbb {N}$ sei

${}y_{n}=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {b-a}{n}}\cdot s_{k}\,,$

wobei ${}s_{k}$ das Minimum von ${}f$ auf dem Teilintervall ${}[a+k{\frac {b-a}{n}},a+(k+1){\frac {b-a}{n}}]$ sei. D.h., dass ${}y_{n}$ das Treppenintegral zur maximalen unteren Treppenfunktion bezüglich der äquidistanten Unterteilung in ${}n$ Teilintervalle ist. Die Folge ${}y_{n}$ konvergiert gegen das bestimmte Integral (vergleiche Aufgabe). Wir zeigen, dass ${}x_{n}-y_{n}$ gegen ${}0$ konvergiert, sodass ${}x_{n}$ ebenfalls gegen das bestimmte Integral konvergiert.

Sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Nach Fakt ist ${}f$ gleichmäßig stetig. Das bedeutet, dass es zu

${}\epsilon '={\frac {\epsilon }{b-a}}\,$

ein ${}\delta >0$ derart gibt, dass aus

${}\vert {t-t'}\vert \leq \delta \,$

die Abschätzung

${}\vert {f(t)-f(t')}\vert \leq \epsilon '\,$

folgt. Es sei nun ${}n$ derart, dass

${}{\frac {b-a}{n}}\leq \delta \,$

ist. Die Länge der Teilintervalle ${}[a+k{\frac {b-a}{n}},a+(k+1){\frac {b-a}{n}}]$ ist somit ${}\leq \delta$. Dies bedeutet, dass

${}\vert {f{\left(a+k{\frac {b-a}{n}}\right)}-s_{k}}\vert \leq \epsilon '\,.$

Daher ist

${}{\begin{aligned}\vert {x_{n}-y_{n}}\vert &\leq \vert {\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {b-a}{n}}\cdot f{\left(a+k{\frac {b-a}{n}}\right)}-\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {b-a}{n}}\cdot s_{k}}\vert \\&={\frac {b-a}{n}}\cdot \vert {\sum _{k=0}^{n-1}f{\left(a+k{\frac {b-a}{n}}\right)}-\sum _{k=0}^{n-1}s_{k}}\vert \\&={\frac {b-a}{n}}\cdot \vert {\sum _{k=0}^{n-1}{\left(f{\left(a+k{\frac {b-a}{n}}\right)}-s_{k}\right)}}\vert \\&\leq {\frac {b-a}{n}}\cdot \sum _{k=0}^{n-1}\vert {f{\left(a+k{\frac {b-a}{n}}\right)}-s_{k}}\vert \\&\leq {\frac {b-a}{n}}\cdot n\cdot \epsilon '\\&=\epsilon .\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe