Riemannsche Fläche/Überlagerung/Rückzug/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Aufgabe ist mit $X$ auch $Y$ hausdorffsch. Für eine offene Teilmenge $V \subseteq Y$ , die homöomorph auf $p (V)$ abgebildet wird, muss die komplexe Struktur auf $V$ die von $p (V)$ zurückgezogene holomorphe Struktur sein. Dies ergibt sich aus Fakt, da eine holomorphe bijektive Abbildung bereits biholomorph ist. Es kann also höchstens eine komplexe Struktur auf $Y$ derart geben, dass die Abbildung holomorph wird. Zur Existenz überdecken wir $X$ mit offenen Mengen $U_{i}$ , $i \in I$ , über denen $p$ trivialisiert und wobei die $U_{i}$ zusammenhängende Kartengebiete mit Karten

α_{i} : U_{i} ⟶ {U_{i}}^{'} \subseteq ℂ

sind. Es sei $V_{i j_{i}}$ , $j_{i} \in J_{i}$ , die disjunkte Zerlegung von $p^{- 1} (U_{i})$ . Wir definieren Karten auf $V_{i, j_{i}}$ durch

β_{i, j_{i}} := α_{i} \circ p_{j_{i}} : V_{i, j_{i}} ⟶ {U_{i}}^{'} .

Seien $V_{i, j_{i}}$ und $V_{k, ℓ_{k}}$ zwei solche Mengen. Dann ist

p (V_{i, j_{i}} \cap V_{k, ℓ_{k}}) = U_{i} \cap U_{k}

und die Holomorphie der Übergangsabbildung folgt aus der Holomorphie der Kartenwechsel auf $X$ .

Zur bewiesenen Aussage