Riemannsche Fläche/C/Hyperelliptische Gleichung/Fortsetzung/Fakt

Es sei  $f\in ℂ[Z]$  ein Polynom ohne mehrfache Nullstelle vom Grad  $k\ne 1$  und sei  $Y=\{(z,w)\mid w^2=f(z)\}\subseteq {ℂ}^2$  die zugehörige riemannsche Wurzelfläche mit der Projektion $p:Y⟶ℂ$, $(z,w)⟼z$. Es sei $\tilde{Y}$ die zugehörige hyperelliptische riemannsche Fläche mit der Projektion

$\tilde{p}:\tilde{Y}⟶{\mathbb{P}}_{ℂ}^1$

Dann liegen über dem unendlich fernen Punkt  $\mathrm{\infty }\in {\mathbb{P}}_{ℂ}^1$  bei $k$ ungerade ein Punkt und $\tilde{p}$ verzweigt darin mit der Verzweigungsordnung $2$ und bei $k$ gerade zwei Punkte, in denen $\tilde{p}$ unverzweigt ist.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen