Riemannsche Fläche/C/Hyperelliptische Gleichung/Fortsetzung/Fakt/Beweis

Beweis

Wir beschreiben die Situation im unendlich fernen Punkt. Es sei ${}u=z^{-1}$, wir multiplizieren die Gleichung ${}w^{2}=f(z)=a_{k}z^{k}+\cdots +a_{1}z+a_{0}$ mit ${}z^{-k}$ und erhalten

${}{\begin{aligned}z^{-k}w^{2}&=f(z)z^{-k}\\&={\left(a_{k}z^{k}+\cdots +a_{1}z+a_{0}\right)}z^{-k}\\&=a_{k}+\cdots +a_{1}z^{-k+1}+a_{0}z^{-k}\\&=a_{0}u^{k}+\cdots +a_{k}\end{aligned}}$

bzw. ${}w^{2}={\frac {a_{0}u^{k}+\cdots +a_{k}}{u^{k}}}$, wobei diese Beschreibung für ${}u\neq 0$ gilt. Bei ${}k$ ungerade besteht das zugehörige Nullstellengebilde in einer punktierten Umgebung von ${}0$ aus einer Zusammenhangskomponente, da die rechte Seite kein Quadrat einer meromorphen Funktion in ${}u$ ist, bei ${}k$ gerade besteht das zugehörige Nullstellengebilde aus zwei Zusammenhangskomponenten, da man

${}w={\frac {\pm {\sqrt {a_{0}u^{k}+\cdots +a_{k}}}}{u^{m/2}}}\,$

mit auf einer hinreichend kleinen Kreisscheibe um ${}0$ definierten Quadratwurzeln (wegen ${}a_{k}\neq 0$) gemäß Fakt schreiben kann. Diese Zusammenhangskomponenten legen nach dem Beweis zu Fakt fest. Im ungeraden Fall liegt auf einer punktierten Kreisscheibe eine Abbildung der Blätterzahl ${}2$ vor, mit einem lokalen Parameter ${}t$ liegt die Abbildung ${}t^{2}=u$ vor und es ist

${}w={\frac {\sqrt {a_{0}t^{2k}+\cdots +a_{k}}}{t^{k}}}\,$

eine lokale Beschreibung für ${}w$. Bei ${}k$ gerade kann man ${}u$ jeweils als lokalen Parameter für die beide Kreisscheiben oben nehmen, und es ist

${}w={\frac {\sqrt {a_{0}u^{k}+\cdots +a_{k}}}{u^{k/2}}}\,$

eine lokale Beschreibung für ${}w$.

Zur bewiesenen Aussage