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Riemannsche Fläche/C/Hyperelliptische Gleichung/Fortsetzung/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir beschreiben die Situation im unendlich fernen Punkt. Es sei , wir multiplizieren die Gleichung mit und erhalten

bzw. , wobei diese Beschreibung für gilt. Bei ungerade besteht das zugehörige Nullstellengebilde in einer punktierten Umgebung von aus einer Zusammenhangskomponente, da die rechte Seite kein Quadrat einer meromorphen Funktion in ist, bei gerade besteht das zugehörige Nullstellengebilde aus zwei Zusammenhangskomponenten, da man

mit auf einer hinreichend kleinen Kreisscheibe um definierten Quadratwurzeln (wegen ) gemäß Fakt schreiben kann. Diese Zusammenhangskomponenten legen nach dem Beweis zu Fakt fest. Im ungeraden Fall liegt auf einer punktierten Kreisscheibe eine Abbildung der Blätterzahl vor, mit einem lokalen Parameter liegt die Abbildung vor und es ist

eine lokale Beschreibung für . Bei gerade kann man jeweils als lokalen Parameter für die beide Kreisscheiben oben nehmen, und es ist

eine lokale Beschreibung für .