Riemannsche Fläche/Divisor/Invertierbare Garbe/Negativ/Lineare Äquivalenz/Fakt/Beweis

Beweis

Die Divisoren seien zuerst linear äquivalent. Es sei also

${}E=D+\operatorname {div} {\left(h\right)}\,$

mit einer meromorphen Funktion ${}h\neq 0$. Wir behaupten, dass durch die Multiplikation mit ${}h^{-1}$, also

$h^{-1}-\colon {\mathcal {O}}_{X}(D)\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X}(E),$

ein Isomorphismus von invertierbaren Garben gegeben ist. Die Abbildung ist auf jeder offenen Menge ${}U\subseteq X$ durch

${\mathcal {O}}_{X}(D)(U)={\left\{f\mid f{\text{ ist meromorph auf }}U{\text{ und }}\operatorname {div} {\left(f\right)}\geq -D{\text{ auf }}U\right\}}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X}(E)(U)={\left\{g\mid g{\text{ ist meromorph auf }}U{\text{ und }}\operatorname {div} {\left(g\right)}\geq -E{\text{ auf }}U\right\}},\,f\longmapsto fh^{-1},$

gegeben. Sie ist wohldefiniert, mit Restriktionen verträglich, erhält die Modulstruktur und ist ein Isomorphismus, wobei die Umkehrabbildung durch die Multiplikation mit ${}h$ gegeben ist.

Wenn die beiden Garben ${}{\mathcal {O}}_{X}(D)$ und ${}{\mathcal {O}}_{X}(E)$ isomorph sind, so kann man durch Tensorierung mit ${}{\mathcal {O}}_{X}(-E)$ unter Verwendung von Fakt  (4,5) auf die Situation reduzieren, wo ${}{\mathcal {O}}_{X}(D)$ isomorph zur Strukturgarbe ist. Es ist dann zu zeigen, dass ${}D$ ein Hauptdivisor ist. Der Isomorphismus ist durch eine Abbildung

${\mathcal {O}}_{X}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X}(D),\,1\longmapsto f,$

gegeben. Wir behaupten ${}\operatorname {div} {\left(f\right)}=-D$. Wegen ${}f\in {\mathcal {O}}_{X}(D)(X)$ ist

${}\operatorname {div} {\left(f\right)}\geq -D\,.$

Wenn in einem Punkt die Ordnung links echt größer als die Ordnung rechts wäre, so wäre die Abbildung in diesem Halm kein Isomorphismus.

Zur bewiesenen Aussage