Riemannsche Fläche/Divisor/Invertierbare Garbe/Negativ/Zuordnungseigenschaften/Fakt

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche. Dann besitzt die Zuordnung, die einem Divisor ${}D$ die zugehörige invertierbare Garbe ${}{\mathcal {O}}_{X}(D)$ zuordnet, folgende Eigenschaften.

1. Die Garbe ${}{\mathcal {O}}_{X}(D)$ ist in der Tat invertierbar.
2. Für Divisoren ${}D,E$ ist ${}D\leq E$ genau dann, wenn ${}{\mathcal {O}}_{X}(D)\subseteq {\mathcal {O}}_{X}(E)$ gilt.
3. Für Divisoren ${}D,E$ ist ${}D=E$ genau dann, wenn ${}{\mathcal {O}}_{X}(D)={\mathcal {O}}_{X}(E)$ (als Untergarben) ist.
4. Es ist

   ${}{\mathcal {O}}_{X}(D+E)={\mathcal {O}}_{X}(D)\otimes {\mathcal {O}}_{X}(E)\,.$

5. Es ist

   ${}{\mathcal {O}}_{X}(-D)\cong {\mathcal {O}}_{X}(D)^{*}\,$

6. Für jede invertierbare Untergarbe ${}{\mathcal {L}}\subseteq {\mathcal {M}}_{X}$ gibt es einen Divisor ${}D$ mit ${}{\mathcal {L}}={\mathcal {O}}_{X}(D)$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen