Riemannsche Fläche/Divisor/Invertierbare Garbe/Negativ/Zuordnungseigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

1. Aufgrund der lokalen Definition liegt eine Untergarbe von kommutativen Gruppen der Modulgarbe der meromorphen Funktionen vor. Zu einer holomorphen Funktion ${}h\in \Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ und ${}f\in {\mathcal {O}}_{X}(D)(U)$ gehört wegen

   ${}\operatorname {div} {\left(hf\right)}=\operatorname {div} {\left(h\right)}+\operatorname {div} {\left(f\right)}\geq \operatorname {div} {\left(f\right)}\geq -D\,$

   auch ${}hf$ zu ${}{\mathcal {O}}_{X}(D)(U)$. Also liegt eine Modulgarbe vor. Zu dem Divisor ${}D$ gibt es zu jedem Punkt ${}P\in X$ eine zusammenhängende offene Umgebung ${}P\in U\subseteq X$ und eine meromorphe Funktion ${}g\neq 0$ auf ${}U$, deren Hauptdivisor gleich ${}D{|}_{U}$ ist. Die Konstruktion der zugehörigen Garbe ist lokal, die Invertierbarkeit können wir also auf ${}U$ nachweisen. Es ist also

   ${}{\begin{aligned}{\mathcal {O}}_{X}(D)(U)&={\left\{f\mid f{\text{ ist meromorph auf }}U{\text{ und }}\operatorname {div} {\left(f\right)}\geq -D{\text{ auf }}U\right\}}\\&={\left\{f\mid f{\text{ ist meromorph auf }}U{\text{ und }}\operatorname {div} {\left(f\right)}\geq -\operatorname {div} {\left(g\right)}{\text{ auf }}U\right\}}.\end{aligned}}$

   Dabei besitzt die meromorphe Funktion ${}fg$ auf ${}U$ einen Divisor, der überall nichtnegativ ist und daher ist ${}fg$ auf ${}U$ nach Fakt holomorph. Also ist

   ${\mathcal {O}}_{U}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X}(D),\,1\longmapsto g^{-1},$

   ein Isomorphismus.

2. Die Hinrichtung ist trivial. Für die Rückrichtung wissen wir für jede offene Menge ${}U$ und jede meromorphe Funktion ${}f$ auf ${}U$, dass

   ${}\operatorname {div} {\left(f\right)}\geq -D\,$

   auf ${}U$ genau dann gilt, wenn

   ${}\operatorname {div} {\left(f\right)}\geq -E\,$

   gilt. Wenn sich ${}D$ und ${}E$ in einem Punkt ${}P$ unterscheiden, so kann man ein Kartengebiet um ${}P$ wählen, dass außer ${}P$ keinen weiteren Trägerpunkt von ${}D$ oder von ${}E$ enthält. Dann gibt es aber eine meromorphe Funktion, deren Ordnung an ${}P$ mit der von ${}-D$ übereinstimmt aber nicht mit der von ${}-E$.

3. Dies folgt aus (2).
4. Dies beruht darauf, dass das Tensorprodukt von invertierbaren Garben, die als Untergarben der Garbe der meromorphen Funktionen vorliegen, lokal durch das Produkt der Erzeuger gegeben ist.
5. Wenn ${}{\mathcal {O}}_{X}(D)$ lokal auf ${}U_{i}$ durch die meromorphe Funktion ${}g_{i}$ erzeugt wird, so wird die duale Garbe lokal durch ${}g_{i}^{-1}$ erzeugt.
6. Siehe Aufgabe.

Zur bewiesenen Aussage