Riemannsche Fläche/Divisor/Invertierbare Garbe/Zuordnungseigenschaften/Fakt

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche. Dann besitzt die Zuordnung, die einem Divisor ${}D$ die zugehörige invertierbare Garbe ${}{\mathcal {L}}_{D}$ zuordnet, folgende Eigenschaften.

1. Die Garbe ${}{\mathcal {L}}_{D}$ ist in der Tat invertierbar.
2. Für Divisoren ${}D,E$ ist  ${}D\geq E$  genau dann, wenn  ${}{\mathcal {L}}_{D}\subseteq {\mathcal {L}}_{E}$  gilt.
3. Für Divisoren ${}D,E$ ist  ${}D=E$  genau dann, wenn  ${}{\mathcal {L}}_{D}={\mathcal {L}}_{E}$  (als Untergarben) ist.
4. Es ist

   ${}{\mathcal {L}}_{D+E}={\mathcal {L}}_{D}\otimes {\mathcal {L}}_{E}\,.$

5. Es ist

   ${}{\mathcal {L}}{\left(-D\right)}\cong {\mathcal {L}}_{D}^{*}\,$

6. Für jede invertierbare Untergarbe  ${}{\mathcal {L}}\subseteq {\mathcal {M}}_{X}$  gibt es einen Divisor ${}D$ mit  ${}{\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{D}$. 

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen