Riemannsche Fläche/Divisor/Invertierbare Garbe/Zuordnungseigenschaften/Fakt

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche. Dann besitzt die Zuordnung, die einem Divisor ${}D$ die zugehörige invertierbare Garbe ${}{\mathcal {L}}_{D}$ zuordnet, folgende Eigenschaften.

1. Die Garbe ${}{\mathcal {L}}_{D}$ ist in der Tat invertierbar.
2. Für Divisoren ${}D,E$ ist ${}D\geq E$ genau dann, wenn ${}{\mathcal {L}}_{D}\subseteq {\mathcal {L}}_{E}$ gilt.
3. Für Divisoren ${}D,E$ ist ${}D=E$ genau dann, wenn ${}{\mathcal {L}}_{D}={\mathcal {L}}_{E}$ (als Untergarben) ist.
4. Es ist

   ${}{\mathcal {L}}_{D+E}={\mathcal {L}}_{D}\otimes {\mathcal {L}}_{E}\,.$

5. Es ist

   ${}{\mathcal {L}}{\left(-D\right)}\cong {\mathcal {L}}_{D}^{*}\,$

6. Für jede invertierbare Untergarbe ${}{\mathcal {L}}\subseteq {\mathcal {M}}_{X}$ gibt es einen Divisor ${}D$ mit ${}{\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{D}$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen