Riemannsche Fläche/Divisoren/Kohomologie/Fakt/Beweis

Beweis

Die lange exakte Kohomologiesequenz zur kurzen exakten Garbensequenz

$0\stackrel{}{⟶}{𝒪}_X^{\times }\stackrel{}{⟶}{ℳ}_X^{\times }\stackrel{\mathrm{div}(-)}{⟶}{𝒟iv}_X\stackrel{}{⟶}0$

ist

$0⟶H^0(X,{𝒪}_X^{\times })⟶H^0(X,{ℳ}_X^{\times })\stackrel{\mathrm{div}(-)}{⟶}\mathrm{Div}\left(X\right)\stackrel{\delta }{⟶}{H}^1(X,{𝒪}_X^{\times })⟶H^1(X,{ℳ}_X^{\times })⟶0,$

wobei die $0$ rechts auf der Welkheit der Divisorengarbe beruht. Der Zusatz folgt unmittelbar aus der Definition der Divisorenklassengruppe.

Zur bewiesenen Aussage