Riemannsche Fläche/Divisoren/Kohomologie/Fakt

Auf einer zusammenhängenden riemannschen Fläche ${}X$

gibt es die exakte Sequenz

$0\longrightarrow H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })\longrightarrow H^{0}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times }){\stackrel {\operatorname {div} {\left(-\right)}}{\longrightarrow }}\operatorname {Div} {\left(X\right)}{\stackrel {\delta }{\longrightarrow }}H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times })\longrightarrow 1.$

Insbesondere gibt es eine kurze exakte Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\operatorname {DKG} {\left(X\right)}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,H^{1}(X,{\mathcal {M}}_{X}^{\times })\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen