Riemannsche Fläche/Dolbeault-Sequenzen/Multiplikation mit holomorpher Form/Fakt

Zu einer holomorphen Differentialform ${}\omega \in \Gamma (X,\Omega _{X})$ auf einer riemannschen Fläche ${}X$

gehört das kommutative Diagramm

${\begin{matrix}0&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X})&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&H^{0}(X,{\mathcal {E}})&{\stackrel {d^{a}}{\longrightarrow }}&H^{0}(X,{{\mathcal {E}}^{(0,1)}})&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&0&\\\downarrow &&\!\!\!\!\!\cdot \omega \downarrow &&\downarrow \cdot \omega \!\!\!\!\!&&\downarrow &&\downarrow &\\0&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&H^{0}(X,\Omega _{X})&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&H^{0}(X,{{\mathcal {E}}^{(1,0)}})&{\stackrel {d}{\longrightarrow }}&H^{0}(X,{{\mathcal {E}}^{(2)}})&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&0&\!\!\!\!\!\end{matrix}}$

von Garben mit exakten Zeilen.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen