Riemannsche Fläche/Endliche Abbildung/Decktransformationsgruppe/Außerhalb diskreter Teilmenge/Fakt/Beweis

Beweis

Die Homomorphieeigenschaft ist klar. Es ist ${}Y'$ dicht in ${}Y$, daher ist die Abbildung injektiv. Zum Beweis der Surjektivität sei

$\varphi \colon Y'\longrightarrow Y'\subseteq Y$

eine Decktransformation über ${}X'$. Es liegt ein kommutatives Diagramm

${\begin{matrix}Y'&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&Y&\\\downarrow &&\downarrow p\!\!\!\!\!&\\Y&{\stackrel {p}{\longrightarrow }}&X&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

vor, wobei die vertikale Abbildung links die Einbettung von ${}Y'$ in ${}Y$ ist. Für jedem Punkt ${}Q\in p^{-1}(D)$ können wir Fakt anwenden und erhalten eine Fortsetzung

${\tilde {\varphi }}\colon Y\longrightarrow Y.$

Zur bewiesenen Aussage