Riemannsche Fläche/Holomorphe Exponentialsequenz/Beispiel zu Quotient/Beispiel

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche. Wir versehen die ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$ mit der diskreten Topologie und betrachten dazu auf ${}X$ die Garbe der stetigen Abbildungen nach ${}\mathbb {Z}$ im Sinne von Beispiel. Es handelt sich um eine Garbe von lokal-konstanten Abbildungen. Über den Gruppenhomomorphismus

$\mathbb {Z} \longrightarrow {\mathbb {C} },\,n\longmapsto 2\pi {\mathrm {i} }n,$

können wir diese Garbe als eine Untergarbe der Garbe der holomorphen Funktionen auf ${}X$ auffassen, da ja stetige lokal-konstante Funktionen insbesondere holomorph sind. In diesem Fall besitzt die Quotientengarbe ${}{\mathcal {O}}_{X}/2\pi {\mathrm {i} }\mathbb {Z}$ eine einfachere Beschreibung, als die Definition der Quotientengarbe als Vergarbung einer Prägarbe vermuten lässt. Die Quotientengarbe ist nämlich die Garbe der holomorphen Funktionen mit Werten in ${}{\mathbb {C} }^{\times }={\mathbb {C} }\setminus \{0\}$. Diese Garbe nennt man die Garbe der holomorphen Einheiten auf ${}X$ und bezeichnet sie mit ${}{\mathcal {O}}_{X}^{\times }$. Die Exponentialfunktion ist eine holomorphe surjektive Funktion

$\exp \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times },$

diese definiert im Sinne von Beispiel einen Garbenhomomorphismus

$\exp \colon {\mathcal {O}}_{X}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X}^{\times },$

wobei eine holomorphe Funktion ${}f$ auf einer offenen Menge ${}U\subseteq X$ auf ${}\exp \circ f$ abgebildet wird. Der Kern dieses Garbenhomomorphismus ergibt die Garbe der lokal-konstanten Funktionen mit Werten in ${}2\pi {\mathrm {i} }\mathbb {Z}$, da genau diese Zahlen unter der Exponentialfunktion auf ${}1$ abbilden. Wir behaupten, dass der durch die Exponentialabbildung gegebene Garbenhomomorphismus surjektiv ist. Dies ist eine lokale Eigenschaft, die wir für jeden Punkt ${}P\in X$ nachweisen müssen. Sei ${}P\in U$ eine offene Umgebung und sei

$h\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times }$

eine holomorphe Funktion. Zu ${}h(P)$ gibt es, da die komplexe Exponentialfunktion nach Beispiel eine Überlagerung ist, auf einer offenen Umgebung ${}h(P)\in V\subseteq {\mathbb {C} }^{\times }$ einen holomorphen Schnitt (einen lokalen Logarithmus)

$s\colon V\longrightarrow {\mathbb {C} }$

mit ${}\exp \left(s(z)\right)=z$ für ${}z\in V$. Auf ${}h^{-1}(V)$ ist somit ${}s\circ h$ eine holomorphe Funktion, die unter der Exponentialfunktion auf ${}h$ abbildet.

Die Exponentialfunktion ist nicht global surjektiv. Wenn man beispielsweise ${}X={\mathbb {C} }^{\times }$ setzt, so ist die globale Auswertung der Exponentialabbildung nicht surjektiv, da die Identität nicht im Bild liegt.