Riemannsche Fläche/Holomorphe Exponentialsequenz/Beispiel zu Quotient/Beispiel

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Es sei eine riemannsche Fläche. Wir versehen die ganzen Zahlen mit der diskreten Topologie und betrachten dazu auf die Garbe der stetigen Abbildungen nach im Sinne von Beispiel. Es handelt sich um eine Garbe von lokal-konstanten Abbildungen. Über den Gruppenhomomorphismus

können wir diese Garbe als eine Untergarbe der Garbe der holomorphen Funktionen auf auffassen, da ja stetige lokal-konstante Funktionen insbesondere holomorph sind. In diesem Fall besitzt die Quotientengarbe eine einfachere Beschreibung, als die Definition der Quotientengarbe als Vergarbung einer Prägarbe vermuten lässt. Die Quotientengarbe ist nämlich die Garbe der holomorphen Funktionen mit Werten in . Diese Garbe nennt man die Garbe der holomorphen Einheiten auf und bezeichnet sie mit . Die Exponentialfunktion ist eine holomorphe surjektive Funktion

diese definiert im Sinne von Beispiel einen Garbenhomomorphismus

wobei eine holomorphe Funktion auf einer offenen Menge auf abgebildet wird. Der Kern dieses Garbenhomomorphismus ergibt die Garbe der lokal-konstanten Funktionen mit Werten in , da genau diese Zahlen unter der Exponentialfunktion auf abbilden. Wir behaupten, dass der durch die Exponentialabbildung gegebene Garbenhomomorphismus surjektiv ist. Dies ist eine lokale Eigenschaft, die wir für jeden Punkt nachweisen müssen. Sei eine offene Umgebung und sei

eine holomorphe Funktion. Zu gibt es, da die komplexe Exponentialfunktion nach Beispiel eine Überlagerung ist, auf einer offenen Umgebung einen holomorphen Schnitt (einen lokalen Logarithmus)

mit für . Auf ist somit eine holomorphe Funktion, die unter der Exponentialfunktion auf abbildet.

Die Exponentialfunktion ist nicht global surjektiv. Wenn man beispielsweise setzt, so ist die globale Auswertung der Exponentialabbildung nicht surjektiv, da die Identität nicht im Bild liegt.