Riemannsche Fläche/Holomorphe Exponentialsequenz/Fakt

Auf einer riemannschen Fläche

liegt die lange exakte Sequenz

$0⟶H^0(X,\mathbb{Z})⟶H^0(X,{𝒪}_X)⟶H^0(X,{𝒪}_X^{\times })\stackrel{\delta }{⟶}{H}^1(X,\mathbb{Z})⟶H^1(X,{𝒪}_X)⟶H^1(X,{𝒪}_X^{\times })\cong \mathrm{Pic}\left(X\right)⟶H^2(X,\mathbb{Z})⟶0$

vor.

Wenn $X$ kompakt ist, so ist

$0⟶H^1(X,\mathbb{Z})⟶H^1(X,{𝒪}_X)⟶H^1(X,{𝒪}_X^{\times })\cong \mathrm{Pic}\left(X\right)⟶H^2(X,\mathbb{Z})⟶0$

exakt.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen