Riemannsche Fläche/Holomorphe Exponentialsequenz/Fakt

Auf einer riemannschen Fläche

liegt die lange exakte Sequenz

$0\longrightarrow H^{0}(X,\mathbb {Z} )\longrightarrow H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times }){\stackrel {\delta }{\longrightarrow }}H^{1}(X,\mathbb {Z} )\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })\cong \operatorname {Pic} {\left(X\right)}\longrightarrow H^{2}(X,\mathbb {Z} )\longrightarrow 0$

vor.

Wenn ${}X$ kompakt ist, so ist

$0\longrightarrow H^{1}(X,\mathbb {Z} )\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })\cong \operatorname {Pic} {\left(X\right)}\longrightarrow H^{2}(X,\mathbb {Z} )\longrightarrow 0$

exakt.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen