Riemannsche Fläche/Holomorphe Exponentialsequenz/Fakt/Beweis

Beweis

Die holomorphe Exponentialsequenz (siehe Beispiel)

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\mathbb {Z} \,{\stackrel {2\pi {\mathrm {i} }}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}\,{\stackrel {\exp \left(-\right)}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}^{\times }\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

ergibt die angegebene lange exakte Kohomologiesequenz, wobei man die Sequenz wegen

${}H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X})=0\,$

abbrechen kann. Es sei nun ${}X$ kompakt, wir können zusätzlich zusammenhängend annehmen. Dann sind die Anfangsterme der Sequenz nach Fakt gleich

$0\longrightarrow \mathbb {Z} {\stackrel {2\pi {\mathrm {i} }}{\longrightarrow }}{\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times }.$

Nach Aufgabe ist die hintere Abbildung surjektiv, man kann also die weitere Sequenz „neu“ bei ${}0$ beginnen lassen.

Zur bewiesenen Aussage