Riemannsche Fläche/Holomorphe Funktion/Ringstruktur/Garbeneigenschaft/Fakt/Beweis

Beweis

1. ist klar aufgrund der lokalen Definition von holomorph.
2. ist klar, da die algebraischen Operationen punktweise definiert sind.
3. folgt aus Fakt.
4. ist klar, da die Gleichheit von Funktionen punktweise definiert ist.
5. Zunächst ergibt sich durch punktweise Festlegung direkt eine Funktion ${}f\colon X\rightarrow {\mathbb {C} }$, die auf die vorgegebenen Funktionen einschränkt. Diese ist holomorph, da die Holomorphie eine lokale Eigenschaft ist.

Zur bewiesenen Aussage