Riemannsche Fläche/Holomorphe Funktionskeime/Algebraische Relation/Fakt/Beweis

Beweis

Zu einem holomorphen Keim ${}g$, der in einem Punkt ${}Q$ definiert ist und aus ${}f$ durch holomorphe Fortsetzung hervorgeht, gibt es insbesondere eine Kette von offenen zusammenhängenden Teilmengen ${}U_{1},\ldots ,U_{m}$ mit ${}P=P_{0}\in U_{1}$, mit Punkten ${}P_{i}\in U_{i}\cap U_{i+1}$ und ${}Q=P_{m}\in U_{m}$. Es sei ${}f_{i}$ der Keim zum Punkt ${}P_{i}$ bei der analytischen Fortsetzung. Wenn ${}f_{i}$ die algebraische Gleichung im Halm zu ${}P_{i}$ erfüllt, dann auch in einer offenen Umgebung von ${}P_{i}$ und damit nach Fakt auch auf ${}U_{i}$ und auf ${}U_{i+1}$. Deshalb folgt die Aussage durch Induktion.

Zur bewiesenen Aussage