Riemannsche Fläche/Hyperelliptisch/Über C/Holomorphe Differentialformen/Fortsetzung/Aufgabe/Lösung

Wir müssen zeigen, dass die angegebenen Differentialformen auch in den im Kompakten hinzukommenden Punkten holomorph sind, wobei wir die lokalen Beschreibungen (einschließlich der Notation) aus dem Beweis zu Fakt verwenden.

Es sei zuerst ${}m$ ungerade, ${}Q$ der hinzukommende Punkt und sei

${}t=u^{2}\,$

ein lokaler Parameter. Dann ist

${}w={\frac {\sqrt {a_{0}t^{2m}+\cdots +a_{m}}}{t^{m}}}\,$

und die Differentialformen besitzen lokal die Gestalt

${}{\begin{aligned}{\frac {z^{j}dz}{w}}&={\frac {u^{-j}du^{-1}}{w}}\\&={\frac {t^{-2j}t^{m}}{\sqrt {a_{0}t^{2m}+\cdots +a_{m}}}}dt^{-2}\\&=-2{\frac {t^{-2j-3+m}}{\sqrt {a_{0}t^{2m}+\cdots +a_{m}}}}dt.\end{aligned}}$

Die Nennerfunktion ist für ${}t=0$ definiert, für den Zähler ergibt sich die Bedingung ${}-2j-3+m\geq 0$, also

${}j\leq {\frac {m-3}{2}}\,,$

wie behauptet.

Es sei nun ${}m$ gerade, sei ${}Q$ ein hinzukommender Punkt, wobei wir ${}u$ als lokalen Parameter verwenden können. Dann ist

${}w={\frac {\sqrt {a_{0}u^{m}+\cdots +a_{m}}}{u^{m/2}}}\,$

und die Differentialformen besitzen lokal die Gestalt

${}{\begin{aligned}{\frac {z^{j}dz}{w}}&={\frac {u^{-j}du^{-1}}{w}}\\&=-{\frac {u^{-j}u^{m/2}u^{-2}}{\sqrt {a_{0}u^{m}+\cdots +a_{m}}}}du.\end{aligned}}$

Die Nennerfunktion ist für ${}u=0$ definiert, für den Zähler ergibt sich die Bedingung ${}-j+{\frac {m}{2}}-2\geq 0$, also

${}j\leq {\frac {m-4}{2}}=\left\lfloor {\frac {m-3}{2}}\right\rfloor \,,$

wie behauptet.

Zur gelösten Aufgabe