Riemannsche Fläche/Invertierbare Garbe/Serre-Dualität/Dualitätsdiagramm/Fakt/Beweis

Beweis

Links steht die zu

${}K-D\leq K-D'\,$

gehörende Einbettung der zugehörigen invertierbaren Garben, siehe Fakt. Rechts steht die injektive duale Abbildung zur surjektiven Abbildung

$H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D'))\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D)),$

die wiederum zur Einbettung

${}{\mathcal {O}}_{X}(D')\subseteq {\mathcal {O}}_{X}(D)\,$

gehört. Es ist

${}{\mathcal {O}}_{X}(K-D)\cong \Omega _{X}\otimes {\mathcal {O}}_{X}(-D)\,.$

Ein globaler Schnitt in dieser Garbe ist das gleiche wie ein Modulhomomorphismus

${\mathcal {O}}_{X}\longrightarrow \Omega _{X}\otimes {\mathcal {O}}_{X}(-D)$

was wiederum das gleiche wie ein Homomorphismus

${\mathcal {O}}_{X}(D)\longrightarrow \Omega _{X}$

ist. Daher folgt die Injektivität der horizontalen Abbildungen aus Fakt.

Es sei nun eine Linearform ${}\lambda '\in {H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D'))}^{*}$ gegeben, das einerseits von ${}\lambda \in H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D))$ und andererseits von ${}u'\in H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D'))=\operatorname {Hom} {\left({\mathcal {O}}_{X}(D'),\Omega _{X}\right)}$ herrührt. Wir müssen ${}u'\in H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D))$ zeigen. Nehmen wir an, dass das nicht gilt. Dann gibt es einen Punkt ${}P\in X$ derart, dass die Ordnung von ${}u'$ in ${}P$ echt kleiner als die Ordnung von ${}K-D$ in ${}P$ ist. Um einen Widerspruch zu erreichen, konstruieren wir eine Kohomologieklasse ${}c'\in H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D'))$, die unter ${}\lambda$, also unter

$H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D'))\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D)){\stackrel {\lambda }{\longrightarrow }}{\mathbb {C} },$

und unter ${}H^{1}(u')$ einen unterschiedlichen Wert hat.

Es sei ${}P\in U$ eine Kreisscheibenumgebung derart, dass auf ${}U\setminus \{P\}$ die Divisoren ${}D,D',K,\operatorname {div} {\left(u'\right)}$ trivial sind.

Zur bewiesenen Aussage