Riemannsche Fläche/Invertierbare Garbe/Serre-Dualität/Dualitätsdiagramm/Fakt

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und seien ${}D'\leq D$ Divisoren auf ${}X$. Es sei ${}K$ ein kanonischer Divisor von ${}X$.

Dann liegt ein kommutatives Diagramm

${\begin{matrix}H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D))&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&{H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D))}^{*}&\\\downarrow &&\downarrow &\\H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D'))&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&{H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D'))}^{*}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

vor, wobei alle Abbildungen injektiv sind. Dabei gilt

${}H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D))=H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K-D'))\cap {H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D))}^{*}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen