Riemannsche Fläche/Invertierbare Garbe/Serre-Dualität/Injektivität nach erster Kohomologie/Fakt/Beweis

Beweis

Hier stehen links Modulgarbenhomomorphismen und rechts ${}{\mathbb {C} }$-lineare Abbildungen, die Gesamtzuordnung ist ein Gruppenhomomorphismus. Es sei ${}\theta \in \operatorname {Hom} {\left({\mathcal {L}},\Omega _{X}\right)}$ nicht die Nullabbildung. Dann ist ${}\theta \colon {\mathcal {L}}\rightarrow \Omega _{X}$ injektiv, da beide Garben invertierbar sind. Es liegt somit eine kurze exakte Garbensequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {L}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\Omega _{X}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\Omega _{X}/{\mathcal {L}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

vor, wobei die Quotientengarbe ${}\Omega _{X}/{\mathcal {L}}$ nach Fakt einen diskreten Träger besitzt und ihre erste Kohomologie verschwindet. Es liegt somit die lange exakte Kohomologiesequenz

$0\longrightarrow H^{0}(X,{\mathcal {L}}){\stackrel {H^{0}(\theta )}{\longrightarrow }}H^{0}(X,\Omega _{X})\longrightarrow H^{0}(X,\Omega _{X}/{\mathcal {L}}){\stackrel {\delta }{\longrightarrow }}H^{1}(X,{\mathcal {L}}){\stackrel {H^{1}(\theta )}{\longrightarrow }}H^{1}(X,\Omega _{X})\longrightarrow 0$

vor. Daher ist ${}H^{1}(\theta )$ surjektiv und wegen ${}H^{1}(X,\Omega _{X})\neq 0$ ist es nicht die Nullabbildung.

Zur bewiesenen Aussage