Riemannsche Fläche/Invertierbare Garbe/Serre-Dualität/Injektivität nach erster Kohomologie/Fakt

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und ${}{\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf ${}X$.

Dann ist die natürliche Abbildung

$\operatorname {Hom} {\left({\mathcal {L}},\Omega _{X}\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(H^{1}(X,{\mathcal {L}}),H^{1}(X,\Omega _{X})\right)},\,\theta \longmapsto H^{1}(\theta ),$

injektiv.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen