Riemannsche Fläche/Invertierbare Garbe/Untergarbe/Quotientengarbe/Fakt/Beweis

Beweis

Lokal auf einer offenen Kreisscheibe ${}U\subseteq X$ liegt die Situation

${\mathcal {O}}_{U}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{U},\,1\longmapsto f,$

mit einer nichttrivialen holomorphen Funktion ${}f\in \Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{U}\right)}$ vor. Auf dem Ort, wo ${}f$ nullstellenfrei ist, liegt ein Isomorphismus mit Quotientengarbe ${}0$ vor. Nach Fakt ist das Komplement diskret. Es habe ${}f$ eine Nullstelle in ${}P$. Dann ist mit einer lokalen Koordinate ${}z$ die Funktion gleich

${}f=gz^{n}\,$

mit ${}g$ nullstellenfrei in ${}P$ und ${}n\geq 1$. Im lokalen Ring ${}{\mathcal {O}}_{X,P}$ erzeugen ${}f$ und ${}z^{n}$ das gleiche Ideal, daher ist

${}{\left({\mathcal {M}}/{\mathcal {L}}\right)}_{P}\cong {\mathcal {O}}_{X,P}/(z^{n})\cong {\mathbb {C} }^{n}\,.$

Zur bewiesenen Aussage