Riemannsche Fläche/Kohomologisches Geschlecht 1/Globale Differentialformen/Aufgabe/Lösung

Nach Fakt ist ${}H^{0}(X,\Omega _{X})$ eindimensional, wir wählen eine globale Differentialform ${}\omega \neq 0$. Dazu gehört ein Modulhomomorphismus

${\mathcal {O}}_{X}\longrightarrow \Omega _{X},\,1\longmapsto \omega ,$

den wir als Isomorphismus nachweisen. Als nichttrivialer Homomorphismus zwischen invertierbaren Garben ist er injektiv. Nach Fakt ist der Grad des kanonischen Divisors gleich ${}0$, d.h. der Grad von ${}\Omega _{X}$ ist ${}0$. Aus Fakt

folgt, dass die Quotientengarbe ${}\Omega _{X}/{\mathcal {O}}_{X}\omega$ die Nullgarbe ist und daher ist die Abbildung auch surjektiv.

Zur gelösten Aufgabe