Riemannsche Fläche/Kompakt/Kanonische Garbe/Grad/Fakt/Beweis

Beweis

Der Satz von Riemann-Roch ergibt für einen kanonischen Divisor ${}K$ wegen ${}{\mathcal {O}}_{X}(K)=\Omega _{X}$ unter Verwendung von Fakt die Gleichheit

${}{\begin{aligned}g-1&=h^{0}(X,\Omega _{X})-h^{1}(X,\Omega _{X})\\&=h^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K))-h^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(K))\\&=\operatorname {Grad} \,(K)+1-g.\end{aligned}}$

Also ist

${}\operatorname {Grad} \,(K)=2g-2\,.$

Zur bewiesenen Aussage