Riemannsche Fläche/Lokal konstante Funktionen/Holomorphe Differentialform/Kohomologieklasse/Geschlossener Weg/Fakt

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche. Es sei ${}\omega$ eine holomorphe Differentialform auf ${}X$ mit der zugehörigen Kohomologieklasse ${}\delta (\omega )\in H^{1}(X,{\mathbb {C} })$ bezüglich der exakten Garbensequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathbb {C} }\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}\,{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\,\Omega _{X}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

(siehe Fakt).

Dann ist für jeden geschlossenen Weg ${}\gamma \colon [0,1]\rightarrow X$

${}\int _{\gamma }\omega =\int _{\gamma }\delta (\omega )\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen