Beweis
Es sei
eine offene Überdeckung mit Kreisscheiben. Auf
besitzt
eine holomorphe Stammform, also eine holomorphe Funktion
mit
auf
. Die zugehörige Kohomologieklasse in
wird durch den Čech-Kozykel
auf
beschrieben. Es sei
eine
topologische Kette
um
und es seien
für
.
Wir setzen ferner
.
Es sei
der Teilweg, der von
nach
führt und somit in
verläuft. Dann ist insgesamt
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{\gamma }\omega &=\sum _{k=1}^{n}\int _{\gamma _{k}}\omega \\&=\sum _{k=1}^{n}\int _{\gamma _{k}}dh_{\alpha (k)}\\&=\sum _{k=1}^{n}{\left(h_{\alpha (k)}(P_{k})-h_{\alpha (k)}(P_{k-1})\right)}\\&=-h_{\alpha (1)}(P_{0})+\sum _{k=1}^{n-1}{\left(h_{\alpha (k)}(P_{k})-h_{\alpha (k+1)}(P_{k})\right)}+h_{\alpha (n)}(P_{n})\\&=\sum _{k=1}^{n-1}{\left(h_{\alpha (k)}(P_{k})-h_{\alpha (k+1)}(P_{k})\right)}\\&=\sum _{k=1}^{n-1}f_{\alpha (k+1)\alpha (k)}(P_{k})\\&=\int _{\gamma }\delta (c).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30ed02ca2c706f58f74098df8d0d47637980b9a9)