Riemannsche Fläche/Lokal konstante Funktionen/Holomorphe Differentialform/Kohomologieklasse/Geschlossener Weg/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung mit Kreisscheiben. Auf ${}U_{i}$ besitzt ${}\omega$ eine holomorphe Stammform, also eine holomorphe Funktion ${}h_{i}$ mit ${}dh_{i}=\omega$ auf ${}U_{i}$. Die zugehörige Kohomologieklasse in ${}H^{1}(X,{\mathbb {C} })$ wird durch den Čech-Kozykel ${}f_{ij}=h_{j}-h_{i}$ auf ${}U_{ij}=U_{i}\cap U_{j}$ beschrieben. Es sei ${}V_{1},V_{2},\ldots ,V_{n-1},V_{n}=V_{1}$ eine topologische Kette um ${}\gamma$ und es seien ${}P_{k}\in V_{k}\cap V_{k+1}\cap \gamma ([0,1])$ für ${}k=1,\ldots ,n-1$. Wir setzen ferner ${}P_{0}=\gamma (0)=\gamma (1)=P_{n}$. Es sei ${}\gamma _{k}$ der Teilweg, der von ${}P_{k-1}$ nach ${}P_{k}$ führt und somit in ${}U_{\alpha (k)}$ verläuft. Dann ist insgesamt

${}{\begin{aligned}\int _{\gamma }\omega &=\sum _{k=1}^{n}\int _{\gamma _{k}}\omega \\&=\sum _{k=1}^{n}\int _{\gamma _{k}}dh_{\alpha (k)}\\&=\sum _{k=1}^{n}{\left(h_{\alpha (k)}(P_{k})-h_{\alpha (k)}(P_{k-1})\right)}\\&=-h_{\alpha (1)}(P_{0})+\sum _{k=1}^{n-1}{\left(h_{\alpha (k)}(P_{k})-h_{\alpha (k+1)}(P_{k})\right)}+h_{\alpha (n)}(P_{n})\\&=\sum _{k=1}^{n-1}{\left(h_{\alpha (k)}(P_{k})-h_{\alpha (k+1)}(P_{k})\right)}\\&=\sum _{k=1}^{n-1}f_{\alpha (k+1)\alpha (k)}(P_{k})\\&=\int _{\gamma }\delta (c).\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage