Riemannsche Fläche/Meromorphe Funktion/Meromorphe Differentialform/Ableitung/Bemerkung

Die Ableitung ${𝒪}_X(U)⟶{\Omega }_X(U)$, $f⟼df$ lässt sich fortsetzen zur Ableitung

$d:ℳ\left(U\right)⟶{ℳ}^{(1)}\left(U\right),f⟼df.$

Hierbei wird lokal der meromorphen Funktion $f$ die meromorphe Differentialform $f^{\prime }dz$ zugeordnet. Diese Ableitung ist wieder $ℂ$-linear und ein Garbenhomomorphismus, aber kein Modulhomomorphismus. Zu einer globalen meromorphen Differentialform $\omega$ (für die Existenz vergleiche Fakt) erhält man einen Garbenhomomorphismus

$ℳ\left(U\right)⟶{ℳ}^{(1)}\left(U\right),f⟼f\omega .$

Da lokal ein Isomorphismus vorliegt, handelt es sich um einen Isomorphismus. Es liegt also eine nichtkanonische Isomorphie vor. Insbesondere kann man bei einer gegebenen meromorphen Form  $\omega \ne 0$  jede weitere meromorphe Form ${\omega }^{\prime }$ als

${\omega }^{\prime }=f\omega$

mit einer eindeutig bestimmten meromorphen Funktion $f$ schreiben. Für nichtkonstante meromorphe Funktionen $g,h$ gibt es insbesondere eine Beziehung

$dg=fdh$

mit einer meromorphen Funktion $f$. Nicht jede meromorphe Differentialform kann man als $df$ mit einer meromorphen Funktion schreiben, siehe Aufgabe.