Riemannsche Fläche/Meromorphe Funktion/Meromorphe Differentialform/Ableitung/Bemerkung

Die Ableitung ${}{\mathcal {O}}_{X}(U)\longrightarrow \Omega _{X}(U)$, ${}f\longmapsto df$ lässt sich fortsetzen zur Ableitung

$d\colon {\mathcal {M}}{\left(U\right)}\longrightarrow {{\mathcal {M}}^{(1)}}{\left(U\right)},\,f\longmapsto df.$

Hierbei wird lokal der meromorphen Funktion ${}f$ die meromorphe Differentialform ${}f'dz$ zugeordnet. Diese Ableitung ist wieder ${}{\mathbb {C} }$-linear und ein Garbenhomomorphismus, aber kein Modulhomomorphismus. Zu einer globalen meromorphen Differentialform ${}\omega$ (für die Existenz vergleiche Fakt) erhält man einen Garbenhomomorphismus

${\mathcal {M}}{\left(U\right)}\longrightarrow {{\mathcal {M}}^{(1)}}{\left(U\right)},\,f\longmapsto f\omega .$

Da lokal ein Isomorphismus vorliegt, handelt es sich um einen Isomorphismus. Es liegt also eine nichtkanonische Isomorphie vor. Insbesondere kann man bei einer gegebenen meromorphen Form ${}\omega \neq 0$ jede weitere meromorphe Form ${}\omega '$ als

${}\omega '=f\omega \,$

mit einer eindeutig bestimmten meromorphen Funktion ${}f$ schreiben. Für nichtkonstante meromorphe Funktionen ${}g,h$ gibt es insbesondere eine Beziehung

${}dg=fdh\,$

mit einer meromorphen Funktion ${}f$. Nicht jede meromorphe Differentialform kann man als ${}df$ mit einer meromorphen Funktion schreiben, siehe Aufgabe.