Riemannsche Fläche/Offene Teilmenge von C/Holomorphe Differentialform/Grundlegende Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

1. Den Tangentialbündel zu $U$ können wir mit $U\times ℂ$ und das Kotangentialbündel können wir entsprechend mit

   $U\times {\mathrm{Hom}}_{ℂ}(ℂ,ℂ)\cong U\times ℂ$

   identifizieren. Die Differentialform $dz$ ist diejenige Differentialform, die jedem Punkt die Identität zuordnet, was der konstanten $1$ bei der natürlichen Identifizierung entspricht. Jeder Schnitt im Kotangentialbündel kann man daher eindeutig als $fdz$ schreiben. Dabei liegt genau dann ein holomorpher Schnitt und damit eine holomorphe Differentialform vor, wenn $f$ eine holomorphe Funktion ist.

2. Die Gleichung  $df=f^{\prime }dz$  folgt mit Fakt  (1) aus

   $(df{)}_P=T_{P}f={\left(Df\right)}_P=f^{\prime }(P)\cdot {\mathrm{Id}}_{ℂ}=f^{\prime }(P)dz.$

   Die Holomorphie von $f^{\prime }$ folgt aus (1) und Fakt.

Zur bewiesenen Aussage