Riemannsche Fläche/Offene Teilmenge von C/Holomorphe Differentialform/Grundlegende Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

1. Den Tangentialbündel zu ${}U$ können wir mit ${}U\times {\mathbb {C} }$ und das Kotangentialbündel können wir entsprechend mit

   ${}U\times \operatorname {Hom} _{\mathbb {C} }{\left({\mathbb {C} },{\mathbb {C} }\right)}\cong U\times {\mathbb {C} }\,$

   identifizieren. Die Differentialform ${}dz$ ist diejenige Differentialform, die jedem Punkt die Identität zuordnet, was der konstanten ${}1$ bei der natürlichen Identifizierung entspricht. Jeder Schnitt im Kotangentialbündel kann man daher eindeutig als ${}fdz$ schreiben. Dabei liegt genau dann ein holomorpher Schnitt und damit eine holomorphe Differentialform vor, wenn ${}f$ eine holomorphe Funktion ist.

2. Die Gleichung ${}df=f'dz$ folgt mit Fakt  (1) aus

   ${}(df)_{P}=T_{P}f=\left(Df\right)_{P}=f'(P)\cdot \operatorname {Id} _{\mathbb {C} }=f'(P)dz\,.$

   Die Holomorphie von ${}f'$ folgt aus (1) und Fakt.

Zur bewiesenen Aussage