Riemannsche Fläche/Serre-Dualität/Holomorphe Differentialformen und Strukturkohomologie/Repräsentierung der Kohomologie/Bemerkung

Die bijektive Zuordnung

$H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow {H^{0}(X,\Omega )}^{*},\,c\longmapsto {\left(\omega \mapsto \operatorname {Res} _{}\left(H^{1}(\omega )(c)\right)\right)},$

aus Fakt ist so zu verstehen. Eine globale Differentialform ${}\omega \in H^{0}(X,\Omega )$ definiert einen (ebenfalls mit ${}\omega$ bezeichneten) Garbenhomomorphismus

${\mathcal {O}}_{X}\longrightarrow \Omega _{X},\,1\longmapsto \omega ,$

und dazu die erste Kohomologieabbildung

$H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow H^{1}(X,\Omega _{X}),\,c\longmapsto H^{1}(\omega )(c).$

Die Auswertung mit dem Residuum ergibt dann den Wert in ${}{\mathbb {C} }$. Der rechnerische Aufwand hängt wesentlich davon ab, in welcher Form die Kohomologieklasse vorliegt. Wenn ${}c$ Čech-kohomologisch als ${}U_{i},h_{ij}$ vorliegt, so erhält man bei gegebenem ${}\omega$ eine entsprechende Darstellung ${}U_{i},h_{ij}\omega$. Wenn ${}c$ als Klasse zu einer Hauptteilverteilung ${}(\tau _{P})_{P}$ vorliegt, so gehört dazu direkt die Hauptteilverteilung von holomorphen Differentialformen ${}(\tau _{P}\omega )_{P}$ und dazu wiederum die Residuenauswertung im Sinne der Definition.