Riemannsche Flächen/Basisfläche/Endliche Körpererweiterung/Fakt/Beweis

Beweis

Nehmen wir an, dass eine Körpererweiterung

${}{\mathcal {M}}(X)\subseteq {\mathcal {M}}(Y)\,$

vorliegt, deren Grad unendlich ist oder endlich ist mit einem Grad, der größer als ${}n$ ist. Im ersten Fall gibt es nach Fakt innerhalb von ${}{\mathcal {M}}(Y)$ eine unendliche Kette von endlichen Körpererweiterungen

${}{\mathcal {M}}(X)\subset {\mathcal {M}}(X)[f_{1}]\subset {\mathcal {M}}(X)[f_{1},f_{2}]\subset \ldots \,,$

es gibt dann also auch (wie sowieso im zweiten Fall) eine endliche Körpererweiterung

${}{\mathcal {M}}(X)\subset L\subseteq {\mathcal {M}}(Y)\,,$

deren Grad über ${}{\mathcal {M}}(X)$ größer als ${}n$ ist. Nach Fakt gibt es ein ${}f\in L$, das ${}L$ erzeugt, also

${}L={\mathcal {M}}(X)[f]\,.$

Dabei ist der Grad des irreduziblen Minimalpolynoms von ${}f$ gleich dem Grad der Körpererweiterung im Widerspruch zu Fakt.

Zur bewiesenen Aussage