Riemannsche Flächen/Basisfläche/Unverzweigte Überlagerung/Meromorphe Funktion/Algebraische Gleichung/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten die meromorphen Funktionen ${}f_{i}$ im Sinne von Fakt und das Polynom

$\prod _{i=1}^{n}(T-f_{i})=T^{n}-E_{1}(f)T^{n-1}\pm \ldots \pm E_{n-1}(f_{1},\ldots ,f_{n})T\pm E_{n}(f)\,,$

wobei die ${}E_{j}(f)$ die elementar-symmetrischen Polynome in den ${}f_{i}$ sind, die auf ganz ${}X$ definiert sind. Diese sind meromorphe Funktionen auf ${}X$, das Polynom gehört zum Polynomring über dem Körper der meromorphen Funktionen zu ${}X$ und die Faktorzerlegung existiert über dem Körper der meromorphen Funktionen zu ${}U$ bzw. zu ${}\pi ^{-1}(U)$. Wenn man in dieses Polynom ${}f$ einsetzt, so erhält man die Nullfunktion, da man dies auf den offenen Mengen ${}V_{i}$ lokal überprüfen kann. D.h. ${}f$ erfüllt eine algebraische Gleichung vom Grad ${}n$ über dem Körper der meromorphen Funktionen von ${}X$.

Zur bewiesenen Aussage