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Riemannsche Flächen/Basisfläche/Unverzweigte Überlagerung/Meromorphe Funktion/Algebraische Gleichung/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir betrachten die meromorphen Funktionen im Sinne von Fakt und das Polynom

wobei die die elementar-symmetrischen Polynome in den sind, die auf ganz definiert sind. Diese sind meromorphe Funktionen auf , das Polynom gehört zum Polynomring über dem Körper der meromorphen Funktionen zu und die Faktorzerlegung existiert über dem Körper der meromorphen Funktionen zu bzw. zu . Wenn man in dieses Polynom einsetzt, so erhält man die Nullfunktion, da man dies auf den offenen Mengen lokal überprüfen kann. D.h. erfüllt eine algebraische Gleichung vom Grad über dem Körper der meromorphen Funktionen von .