Riemannsche Flächen/Basisfläche/Unverzweigte Überlagerung/Meromorphe Funktion/Elementarsymmetrische Funktionen/Fakt

Es sei ${}\pi \colon Y\rightarrow X$ eine endliche holomorphe Überlagerung zwischen riemannschen Flächen der Blätterzahl ${}n$. Es sei ${}f$ eine meromorphe Funktion auf ${}Y$. Zu einer offenen Menge ${}U\subseteq X$ mit der Eigenschaft, dass

${}\pi ^{-1}(U)=\biguplus _{i=1}^{n}V_{i}\,$

und ${}\pi _{i}\colon V_{i}\rightarrow U$ biholomorph sind, betrachten wir auf ${}U$ die meromorphen Funktionen

${}f_{i}:=f\circ \pi _{i}^{-1}\,.$

Dann sind die elementar-symmetrischen Polynome ${}E_{j}(f_{1},\ldots ,f_{n})$, ${},j=1,\ldots ,n$, in den ${}f_{i}$ wohldefinierte meromorphe Funktionen auf ganz ${}X$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen