Riemannsche Flächen/Kompakt/Jacobische Varietät/Funktiorialität/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Über den Rückzug erhält man eine lineare Abbildung

$\Gamma {\left(Y,\Omega _{Y}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)},\,\sigma \longmapsto p^{*}\sigma ,$

und dazu die duale Abbildung

${\Gamma {\left(X,\Omega _{X}\right)}}^{*}\longrightarrow {\Gamma {\left(Y,\Omega _{Y}\right)}}^{*}.$

Unter dieser Abbildung wird die Auswertung ${}\omega \mapsto \int _{\gamma }\omega$ zu einem stetigen Weg ${}\gamma \colon [0,1]\rightarrow X$ auf die Abbildung ${}\sigma \mapsto \int _{\gamma }p^{*}\sigma$ abgebildet. Dies stimmt nach Fakt mit der Abbildung ${}\sigma \mapsto \int _{p\circ \gamma }\sigma$ überein. Dies bedeutet insgesamt, dass unter der dualen Abbildung das Periodengitter von ${}X$ auf das Periodengitter von ${}Y$ abgebildet wird. Dies induziert einen Gruppenhomomorphismus

$J(X)={H^{0}(X,\Omega _{X})}^{*}/\operatorname {Per} (X)\longrightarrow J(Y)={H^{0}(Y,\Omega _{Y})}^{*}/\operatorname {Per} (Y).$

Da er von einer linearen Abbildung herrührt, ist er holomorph.

Zur gelösten Aufgabe