Riemannsche Mannigfaltigkeit/Levi-Civita-Zusammenhang/Eigenschaften/Fakt

Es sei ${}X$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit. Dann erfüllt der Levi-Civita-Zusammenhang ${}\nabla$ die folgenden Eigenschaften.

1. ${}\nabla$ ist linear.
2. ${}\nabla$ ist metrisch, d.h.

   ${}D_{V}\left\langle W,Z\right\rangle =\left\langle \nabla _{V}W,Z\right\rangle +\left\langle W,\nabla _{V}Z\right\rangle \,.$

3. ${}\nabla$ ist torsionsfrei, d.h. es ist

   ${}\nabla _{V}W-\nabla _{W}V=[V,W]\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen