Riemannsche Mannigfaltigkeit/Levi-Civita-Zusammenhang/Geodätische Differentialgleichung/Bemerkung

In der Situation von Fakt nennt man das Differentialgleichungssystem

${}\gamma _{k}^{\prime \prime }(t)+\sum _{ij}\Gamma _{ij}^{k}(\gamma (t))\gamma _{i}'(t)\gamma _{j}'(t)=0\,$

mit ${}k=1,\ldots ,n$, das lokal die Geodätischen charakterisiert, die geodätische Differentialgleichung. Es handelt sich um ein gewöhnliches Differentialgleichungssystem zweiter Ordnung mit ${}n$ Gleichungen. Das System ist nicht linear und ist im Allgemeinen schwierig zu lösen.