Riemannsche Mannigfaltigkeit/Levi-Civita-Zusammenhang/Geodätische/Differentialgleichung/Fakt

Charakterisierung von geodätischen Kurven bezüglich des Levi-Civita-Zusammenhangs

Eine zweifach differenzierbare Kurve ${}\gamma \colon I\rightarrow M$ auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit ${}M$ ist

genau dann eine geodätische Kurve (bezüglich des Levi-Civita-Zusammenhangs), wenn sie auf jeder Karte das gewöhnliche Differentialgleichungssystem zweiter Ordnung

${}\gamma _{k}^{\prime \prime }+\sum _{ij}\Gamma _{ij}^{k}\gamma _{i}'\gamma _{j}'=0\,$

(für alle ${}k$) erfüllt.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen