Riemannsche Mannigfaltigkeit/Levi-Civita-Zusammenhang/Geodätische/Differentialgleichung/Fakt

Charakterisierung von geodätischen Kurven bezüglich des Levi-Civita-Zusammenhangs

Eine zweifach differenzierbare Kurve $\gamma :I\to M$ auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit $M$ ist

genau dann eine geodätische Kurve (bezüglich des Levi-Civita-Zusammenhangs), wenn sie auf jeder Karte das gewöhnliche Differentialgleichungssystem zweiter Ordnung

${\gamma }_k^{\prime \prime }+\sum _{ij}{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k{{\gamma }_i}^{\prime }{{\gamma }_j}^{\prime }=0$

(für alle $k$) erfüllt.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen