Riemannsche Mannigfaltigkeit/Levi-Civita-Zusammenhang/Schnittkrümmung/Tangentiale Ebene/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten den definierenden Ausdruck

${}K(v,w)={\frac {\left\langle R(v,w)w,v\right\rangle }{\left\langle v,v\right\rangle \left\langle w,w\right\rangle -\left\langle v,w\right\rangle ^{2}}}\,$

für die Schnittkrümmung. Der Ausdruck ${}R(v,w)z$ ist nach Fakt linear in allen Komponenten. Wenn man ${}v$ oder ${}w$ mit einem Skalar ${}a\neq 0$ multipliziert, so kann man sowohl im Zähler als auch im Nenner den Faktor ${}a^{2}$ rausziehen. Ferner gilt

${}{\begin{aligned}\left\langle R(v+w,w)w,v+w\right\rangle &=\left\langle R(v,w)w+R(w,w)w,v+w\right\rangle \\&=\left\langle R(v,w)w,v\right\rangle +\left\langle R(w,w)w,v\right\rangle +\left\langle R(v,w)w,w\right\rangle +\left\langle R(w,w)w,w\right\rangle .\end{aligned}}$

Nach Fakt  (4) sind ${}\left\langle R(w,w)w,v\right\rangle$ und ${}\left\langle R(w,w)w,w\right\rangle$ gleich ${}0$ und wegen Fakt  (5,6) ist auch ${}\left\langle R(v,w)w,w\right\rangle =0$. Der Zähler der Schnittkrümmung ändert sich also nicht, wenn man ${}v$ durch ${}v+w$ ersetzt. Wegen

${}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,\left\langle v+w,v+w\right\rangle \left\langle w,w\right\rangle -\left\langle v+w,w\right\rangle ^{2}\\&=\left\langle v,v\right\rangle \left\langle w,w\right\rangle +\left\langle w,w\right\rangle \left\langle w,w\right\rangle +2\left\langle v,w\right\rangle \left\langle w,w\right\rangle -\left\langle v,w\right\rangle ^{2}-\left\langle w,w\right\rangle ^{2}-2\left\langle v,w\right\rangle \left\langle w,w\right\rangle \\&=\left\langle v,v\right\rangle \left\langle w,w\right\rangle -\left\langle v,w\right\rangle ^{2}\,\end{aligned}}$

ändert sich dabei auch nicht der Nenner.

Zur bewiesenen Aussage