Riemannsche Mannigfaltigkeit/Levi-Civita-Zusammenhang/Schnittkrümmung/Tangentiale Ebene/Fakt

Es sei ${}M$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit, die mit dem Levi-Civita-Zusammenhang auf dem Tangentialbündel ${}TM$ und dem zugehörigen Krümmungsoperator ${}R$ versehen sei.

Dann hängt die Schnittkrümmung zu zwei linear unabhängigen Vektoren ${}v,w\in T_{P}M$ nur von der durch die Vektoren erzeugten Ebene

${}\mathbb {R} v+\mathbb {R} w\subseteq T_{P}M\,$

ab.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen