Riemannsche Mannigfaltigkeit/Levi-Civita-Zusammenhang/Krümmungsoperator/Eigenschaften/Fakt

Es sei ${}M$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit und das Tangentialbündel sei mit dem Levi-Civita-Zusammenhang versehen. Dann besitzt der Krümmungsoperator folgende Eigenschaften.

1. Es ist ${}R(V,W)Z$ linear in allen drei Komponenten.
2. Für ${}P\in M$ hängt ${}(R(V,W)Z)(P)$ nur von ${}V(P),W(P),Z(P)$ ab.
3. Es ist

   ${}R(V,W)=-R(W,V)\,$

4. Es ist

   ${}R(V,W)Z+R(W,Z)V+R(Z,V)W=0\,.$

5. Es ist

   ${}\left\langle R(V,W)T,Z\right\rangle =-\left\langle R(V,W)Z,T\right\rangle \,.$

6. Es ist

   ${}\left\langle R(V,W)T,Z\right\rangle =\left\langle R(T,Z)V,W\right\rangle \,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen