Riemannsche Mannigfaltigkeit/Linearer Zusammenhang/Metrisch auf Basisfeldern/Metrisch/Aufgabe/Lösung

Die Aussage ist lokal, ohne Einschränkung sei daher ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ versehen mit einer riemannschen Struktur durch Funktionen ${}g_{ij}$. Die Voraussetzung besagt

${}\left\langle \nabla _{\partial _{i}}\partial _{j},\partial _{k}\right\rangle +\left\langle \partial _{j},\nabla _{\partial _{i}}\partial _{k}\right\rangle =\partial _{i}g_{jk}\,.$

Mit den Christoffelsymbolen formuliert ist

${}\left\langle \nabla _{\partial _{i}}\partial _{j},\partial _{k}\right\rangle =\left\langle \sum _{\ell =1}^{n}\Gamma _{ij}^{\ell }\partial _{\ell },\partial _{k}\right\rangle =\sum _{\ell =1}^{n}\Gamma _{ij}^{\ell }g_{\ell k}\,$

und

${}\left\langle \partial _{j},\nabla _{\partial _{i}}\partial _{k}\right\rangle =\left\langle \partial _{j},\sum _{\ell =1}^{n}\Gamma _{ik}^{\ell }\partial _{\ell }\right\rangle =\sum _{\ell =1}^{n}\Gamma _{ik}^{\ell }g_{\ell j}\,,$

die Bedingung besagt also

${}\sum _{\ell =1}^{n}\Gamma _{ij}^{\ell }g_{\ell k}+\sum _{\ell =1}^{n}\Gamma _{ik}^{\ell }g_{\ell j}=\partial _{i}g_{jk}\,.$

Wir müssen

${}D_{V}\left\langle W,Z\right\rangle =\left\langle \nabla _{V}W,Z\right\rangle +\left\langle W,\nabla _{V}Z\right\rangle \,$

für beliebige stetig differenzierbare Vektorfelder ${}V,W,Z$ zeigen, die wir jeweils als ${}\sum _{i=1}^{n}f_{i}\partial _{i}$ mit stetig differenzierbaren Funktionen ansetzen können. Es sei zunächst ${}V=\partial _{i}$ und

${}W=\sum _{j=1}^{n}f_{j}\partial _{j}\,$

und

${}Z=\sum _{k=1}^{n}h_{k}\partial _{k}\,.$

Das Skalarprodukt ist additiv in den Komponenten und ${}\nabla _{\partial _{i}}$ ist auch additiv, da ein linearer Zusammenhang vorliegt. Ebenso ist ${}D_{\partial _{i}}=\partial _{i}$ additiv. Deshalb können wir uns auf Felder der Form ${}W=f\partial _{j}$ und ${}Z=h\partial _{k}$ mit fixierten ${}j,k$ beschränken. Für die linke Seite ergibt sich

${}\partial _{i}\left\langle f\partial _{j},h\partial _{k}\right\rangle =\partial _{i}{\left(fhg_{jk}\right)}=fg_{jk}\partial _{i}(h)+hg_{jk}\partial _{i}(f)+fh\partial _{i}{\left(g_{jk}\right)}\,.$

Nach Fakt ist

${}\nabla _{\partial _{i}}{\left(f\partial _{j}\right)}={\left(\partial _{i}f\right)}\partial _{j}+f\nabla _{\partial _{i}}\partial _{j}={\left(\partial _{i}f\right)}\partial _{j}+f{\left(\sum _{\ell =1}^{n}\Gamma _{ij}^{\ell }\partial _{\ell }\right)}\,$

und

${}\nabla _{\partial _{i}}{\left(h\partial _{k}\right)}={\left(\partial _{i}h\right)}\partial _{k}+h\nabla _{\partial _{i}}\partial _{k}={\left(\partial _{i}h\right)}\partial _{k}+h{\left(\sum _{\ell =1}^{n}\Gamma _{ik}^{\ell }\partial _{\ell }\right)}\,.$

Daher ist

${}{\begin{aligned}\left\langle \nabla _{\partial _{i}}{\left(f\partial _{j}\right)},h\partial _{k}\right\rangle &=\left\langle {\left(\partial _{i}f\right)}\partial _{j}+f{\left(\sum _{\ell =1}^{n}\Gamma _{ij}^{\ell }\partial _{\ell }\right)},h\partial _{k}\right\rangle \\&=h{\left(\partial _{i}f\right)}\left\langle \partial _{j},\partial _{k}\right\rangle +fh\sum _{\ell =1}^{n}\Gamma _{ij}^{\ell }\left\langle \partial _{\ell },\partial _{k}\right\rangle \\&=h{\left(\partial _{i}f\right)}g_{jk}+fh\sum _{\ell =1}^{n}\Gamma _{ij}^{\ell }g_{\ell k}\end{aligned}}$

und

${}{\begin{aligned}\left\langle f\partial _{j},\nabla _{\partial _{i}}{\left(h\partial _{k}\right)}\right\rangle &=\left\langle f\partial _{j},{\left(\partial _{i}h\right)}\partial _{k}+h{\left(\sum _{\ell =1}^{n}\Gamma _{ik}^{\ell }\partial _{\ell }\right)}\right\rangle \\&=f{\left(\partial _{i}h\right)}g_{jk}+fh\sum _{\ell =1}^{n}\Gamma _{ik}^{\ell }g_{\ell j}.\end{aligned}}$

Die Summe der beiden Terme stimmt mit der linken Seite überein.

Im Richtungsfeld ${}V$ sind beide Seiten linear und auch mit der Multiplikation mit Funktionen verträglich.

Zur gelösten Aufgabe