Riemannsche Mannigfaltigkeit/Linearer Zusammenhang/Metrisch auf Basisfeldern/Metrisch/Aufgabe

Es sei ${}M$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit und sei ${}\nabla$ ein linearer Zusammenhang auf ${}TM$. Es sei vorausgesetzt, dass ${}\nabla$ lokal für Basisfelder ${}\partial _{1},\ldots ,\partial _{n}$ die Eigenschaft

${}\partial _{i}\left\langle \partial _{j},\partial _{k}\right\rangle =\left\langle \nabla _{\partial _{i}}\partial _{j},\partial _{k}\right\rangle +\left\langle \partial _{j},\nabla _{\partial _{i}}\partial _{k}\right\rangle \,$

für alle ${}i,j,k$ erfüllt. Zeige, dass ${}\nabla$ metrisch

ist.

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