Riemannscher Abbildungssatz

Einleitung

Der (kleine) riemannsche Abbildungssatz ist eine Aussage aus der Funktionentheorie, die nach Bernhard Riemann benannt wurde.

Geschichte

Bernhard Riemann skizzierte 1851 einen Beweis in seiner Dissertation. Im Jahr 1922 wurde die Aussage dann endgültig durch Lipót Fejér und Frigyes Riesz bewiesen. Ein heute weit verbreiteter Beweis, der den Satz von Montel verwendet, stammt von Alexander Markowitsch Ostrowski aus dem Jahre 1929. Vom riemannschen Abbildungssatz gibt es eine Verallgemeinerung, die als großer riemannscher Abbildungssatz bezeichnet wird.

Riemannscher Abbildungssatz

Jedes einfach zusammenhängende Gebiet $G\subsetneq \mathbb {C}$ lässt sich biholomorph auf die offene Einheitskreisscheibe $\mathbb {D}$ abbilden.^[1]

Bemerkung - offene Kreisschreibe

Die offene Einheitskreisscheibe $\mathbb {D}$ ist definiert als

\mathbb {D} :=\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}.

Notation - echte Teilmenge

Die Notation $G\subsetneq \mathbb {C}$ bedeutet „echte Teilmenge“ und besagt, dass das Gebiet $G$ ungleich $\mathbb {C}$ sein muss.

Charakterisierung offener Mengen

Eine offene Menge in $\mathbb {C}$ kann man dadurch charakterisieren, dass jeden ihrer Punkte eine Kreisscheibe umgibt, die ganz in dieser Menge liegt; mit anderen Worten, dass sie nur aus inneren Punkten besteht.

Bemerkung - biholomorph

Eine Abbildung ist biholomorph, wenn sie holomorph ist und wenn ihre Umkehrabbildung existiert und diese ebenfalls holomorph ist. Insbesondere sind solche Abbildungen Homöomorphismen, also in beide Richtungen stetig.

Einfach zusammenhängende Gebiete

Hieraus und unter Verwendung des riemannschen Abbildungssatzes kann man schließen, dass alle einfach zusammenhängenden Gebiete, die echte Teilmengen von $\mathbb {C}$ sind, topologisch äquivalent sind. Tatsächlich ist auch $\mathbb {C}$ zu diesen topologisch äquivalent.

Existenz von biholomorphen Abbildungen

Für jeden Punkt $z$ des einfach zusammenhängenden Gebietes $G$ gilt:

Es gibt genau eine biholomorphe Funktion

h

von

G

auf

\mathbb {D}

mit $h(z)=0$ und $h'(z)>0$ .

Großer riemannscher Abbildungssatz

Der große riemannsche Abbildungssatz, auch als Uniformisierungssatz (bewiesen von Paul Koebe, Henri Poincaré) bezeichnet, ist eine Verallgemeinerung des oben genannten Satzes. Er besagt:^[2]

Jede einfach zusammenhängende riemannsche Fläche ist biholomorph äquivalent zu genau einer der folgenden Flächen:

der Einheitskreisscheibe $\mathbb {D}$ , bzw. zur dazu äquivalenten hyperbolischen Halbebene $\mathbb {H}$ ,
der komplexen Zahlenebene $\mathbb {C}$ oder
der riemannschen Zahlenkugel $\mathbb {P} ^{1}(\mathbb {C} ).$

Bemerkung - Satz von Liouville

Es ist vergleichsweise einfach, zu erkennen, dass die drei genannten Riemannschen Flächen paarweise nicht biholomorph äquivalent sind: Eine biholomorphe Abbildung von $\mathbb {C}$ nach $\mathbb {D}$ ist nach dem Satz von Liouville nicht möglich (da holomorph auf $\mathbb {C}$ und beschränkt, also konstant) und die Zahlenkugel ist kompakt und ist somit schon aus rein topologischen Gründen nicht homöomorph und damit auch nicht biholomorph äquivalent zu $\mathbb {D}$ oder $\mathbb {C}$ .

Beweisabhängigkeiten

Man muss allerdings dazu sagen, dass der erstgenannte riemannsche Abbildungssatz (oder zumindest dessen Beweisideen) zum Beweis des großen riemannschen Abbildungssatzes verwendet wird. Man erhält auf diese Weise also keine neue Herleitung des riemannschen Abbildungssatzes.

Einzelnachweise

↑ W. Fischer, I. Lieb: Funktionentheorie, Vieweg-Verlag 1980, ISBN 3-528-07247-4, Kap IX, Satz 7.1
↑ Otto Forster: Riemannsche Flächen, Heidelberger Taschenbücher Band 184, Springer-Verlag, ISBN 3-540-08034-1, Satz 27.9

Literatur

Eberhard Freitag & Rolf Busam: Funktionentheorie 1, Springer-Verlag, Berlin, ISBN 3-540-67641-4

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[1] W. Fischer, I. Lieb: Funktionentheorie, Vieweg-Verlag 1980, ISBN 3-528-07247-4, Kap IX, Satz 7.1

[2] Otto Forster: Riemannsche Flächen, Heidelberger Taschenbücher Band 184, Springer-Verlag, ISBN 3-540-08034-1, Satz 27.9

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