Ringhomomorphismus/Körper nach Ring nicht null/Injektiv/Fakt/Beweis

Beweis

Es genügt nach Fakt zu zeigen, dass der Kern der Abbildung gleich $0$ ist. Nach Fakt ist der Kern ein Ideal. Da die $1$ auf $1 \neq 0$ geht, ist der Kern nicht ganz $K$ . Da es nach Fakt in einem Körper überhaupt nur zwei Ideale gibt, muss der Kern das Nullideal sein.