Ringhomomorphismus/Primideal/Abbildung der Lokalisierung und der Restekörper/Aufgabe

Es sei

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein Ringhomomorphismus zwischen den kommutativen Ringen ${}R$ und ${}S$ und es sei ${}{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spek} {\left(S\right)}$ ein Primideal. Zeige, dass es natürliche Ringhomomorphismen

$R_{\varphi ^{-1}({\mathfrak {p}})}\longrightarrow S_{\mathfrak {p}}$

(zwischen den Lokalisierungen) und

$\kappa {\left(\varphi ^{-1}({\mathfrak {p}})\right)}\longrightarrow \kappa {\left({\mathfrak {p}}\right)}$

(zwischen den Restekörpern) gibt.

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