Rotationsfläche/Differenzierbare positive Kurve/Graph/Geodätische/Fakt

Es sei ${}I$ ein offenes Intervall und ${}f\colon I\rightarrow \mathbb {R} _{+}$ eine differenzierbare Funktion und es sei ${}Y$ die Rotationsfläche (um die ${}x$-Achse) zum Graphen von ${}f$. Es sei

$\gamma \colon J\longrightarrow I,\,t\longmapsto \gamma (t),$

eine bijektive differenzierbare Funktion derart, dass ${}\left(\gamma (t),\,f(\gamma (t))\right)$ ein Parametrisierung des Graphen zu ${}f$ mit konstanter Norm der Geschwindigkeit ist. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Zu jedem Punkt ${}\left(x,\,y,\,z\right)=\left(x,\,f(x)\cos \alpha ,\,f(x)\sin \alpha \right)\in Y$ ist

   $\theta \colon J\longrightarrow Y,\,t\longmapsto \left(\gamma (t),\,f(\gamma (t))\cos \alpha ,\,f(\gamma (t))\sin \alpha \right),$

   eine Geodätische.

2. Eine Kreiskurve

   $\theta \colon \mathbb {R} \longrightarrow I\times \mathbb {R} ^{2},\,\alpha \longmapsto \left(x,\,f(x)\cos \alpha ,\,f(x)\sin \alpha \right),$

   ist genau dann eine Geodätische, wenn ${}f'(x)=0$ ist.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen